वर्ग आणि वर्गमूळ

यामध्ये  आपण  बघणार  आहोत मराठी गणितातील  वर्ग आणि  वर्गमूळ  संख्या म्हणजे काय तो कसा काढायचा व त्याचे काही उदाहरणे.

〉 वर्ग म्हणजे काय :

» एखाद्या संख्येला  त्याच  संख्येने गुणले तर  येणारा  गुणाकार  हा त्या  संख्येचा वर्ग असतो.

〉 सर्वप्रथम एकक स्थानाकडून 0 असलेल्या संख्याचे वर्ग करताना जेवढे 0 आहे त्याची दुप्पट 0 द्यावे.व त्यासमोरिल संख्येचा वर्ग करवा

 उदा
» 80^2 = 8 चा वर्ग 64 व 0 एक आहे म्हणून
   वर्गात 00 द्यावे
               80^2=6400
               800^2=640000

» जर एकक स्थानी 5 असलेल्या संख्येचा वर्ग काढत  असताना  दशक ठिकाणी  असलेली संख्या व त्यापेक्षा 1ने मोठी असलेली संख्या यांचा गुणाकार करुन त्याच्या डावीकडे 5 चा वर्ग 25 लिहावे

 उदा → 85^2=(8×9)25=7225
             95^2=(9×10)25=9025

〉 दोन क्रमवार संख्याच्या वर्गातील फरक हा त्यांच्या बेरजे एवढा असतो

उदा

» 80 च्या वर्गपेक्षा 81 चा वर्ग हा 【80 + 81】 161 ने मोठा असतो

» 81^2=6400+161=6561
» 91^2=8100+181=8281

 उदा

» 80 च्या वर्गपेक्षा 79 चा वर्ग हा 【80 + 79】 159 ने लहान असतो

» 79^2  = 6400-159 =6241
» 89^2  = 8100-179 =7921*3)

उदा

» 85 च्या वर्गपेक्षा 84 चा वर्ग हा 【85 + 84】 169 ने लहान असतो

» 84^2=7225-169=7056
» 94^2=9025-189=8836 

उदा

» 85 च्या वर्गपेक्षा 86 चा वर्ग हा 【85 + 86】 171 ने मोठा असतो

» 86^2=7225+171=7396
» 96^2=9025+191=9216

〉 एकक स्थानी 2 ,3 असेल तर (a+b)^2= a^2+2ab+b^2 या सूत्राचा वापर करावा

  म्हणजे जवळच्या दशक संख्येचा + 【दशक संख्या × फरक × 2】 +फरकचा वर्ग

उदा
» 82^2=(80+2)^2
          =80^2+2×80×2+2^2
          =6400+320+4
          =6724
» 83^2=6400+480+9
            =6889

〉 एकक स्थानी 7 ,8 असेल तर (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 या सूत्राचा वापर करावा

» म्हणजे  जवळच्या  दशक  संख्येचा वर्ग – 【दशक संख्या ×फरक × 2】 +फरकचा वर्ग

उदा
» 87^2=(90-3)^2
         =90^2-2×90×3+3^2
         =8100–540+9=7569
» 88^2=8100–360+4
           =7744

▪️मराठी वर्गमुळ संख्या

◆वर्गसंख्या ज्या संख्येचा वर्ग असते त्या संख्येला ‘वर्गमूळ' म्हणतात

〉 एकक स्थानी 1 असलेल्या संख्येच्या वर्गमुळाच्या एकक स्थानी 1 किंवा 9 असते

〉 एकक स्थानी 4 असलेल्या संख्येच्या वर्गमुळाच्या एकक स्थानी 2 किंवा 8 असते

〉 एकक स्थानी 6 असलेल्या संख्येच्या वर्गमुळाच्या एकक स्थानी 4 किंवा 6 असते

〉 एकक स्थानी 9 असलेल्या संख्येच्या वर्गमुळाच्या एकक स्थानी 3 किंवा 9 असते

〉 एकक  स्थानी व  दशक स्थानी 0 असलेल्या संख्येच्या वर्गमुळाच्या एकक स्थानी 0 असते

●आता 729 चा वर्गमुळ  काढू

» प्रथम शतक स्थानाच्या 7 या अंकाचा विचार करावा

» 2 चा वर्ग 4 आहे 4 पेक्षा 7 मोठे म्हणून 20 पेक्षा मोठ्या संख्येचा वर्ग आहे

» 3चा वर्ग 9 आहे 9 पेक्षा 7 लहान म्हणून 30 पेक्षा लहान संख्येचा वर्ग आहे

» 2 ×3 = 6

» 6 पेक्षा 7 मोठी म्हणून 25 पेक्षा मोठ्या व 9 पेक्षा लहान म्हणून 30 पेक्षा लहान संख्येचा वर्ग 729  आहे

» म्हणजे 729 चा वर्गमुळ 26 ते 29 दरम्यान आहे एकक  स्थानी 9 म्हणून ही संख्या 27 चाच वर्ग  असेल किंवा  ती पूर्ण वर्ग संख्या नाही

●27 चा वर्ग 729
» 27 चा वर्ग 729 आहे  किंवा  नाही  यासाठी वरील वर्ग काढ़ण्याची पद्धत वापरावी

» आता *88*36 चा वर्गमुळ  काढू

» सर्व प्रथम शतक स्थानाच्या 88 या अंकाचा विचार करावा

» 9 चा वर्ग 81 आहे 81 पेक्षा 88 मोठे म्हणून 90 पेक्षा मोठ्या संख्येचा वर्ग आहे

» 10 चा वर्ग 100 आहे 100 पेक्षा 88 लहान म्हणून 100 पेक्षा लहान संख्येचा वर्ग आहे

» 9 ×10 = 90

» 90 पेक्षा 88 लहान म्हणून 95 पेक्षा लहान व 90 पेक्षा  मोठी म्हणून  90 पेक्षा मोठ्या संख्येचा वर्ग 8836  आहे

» म्हणजे 8836 चा वर्गमुळ 91 ते 94 दरम्यान आहे

» एकक  स्थानी 6 म्हणून ही संख्या 94 चाच वर्ग असेल  किंवा ती पूर्ण वर्ग  संख्या नाही 94चा वर्ग 8836 आहे किंवा नाही यासाठी वरील वर्ग काढ़ण्याची पद्धत वापरावी

〉 जर संख्येच्या एकक स्थानी 0असेल तर पूर्ण वर्ग  होण्यासाठी 0 ची  संख्या  सम  असणे आवश्यक आहे

〉 वर्गमुळ मध्ये 0 ची संख्या अर्धी होईल. त्या समोरील संख्या पूर्ण वर्ग असावी. 

उदा : 14400

» 0 ची संख्या 2 व 144 चा वर्गमुळ 12 म्हणून 14400 चा वर्गमुळ 120 आहे.

» 144000 , 0 ची संख्या 3 विषम म्हणून 144000 ही पूर्ण वर्ग नाही.

〉 जर एकक स्थानी 5 असेल तर दशक स्थानी 2 असणे  आवश्यक  तरच  संख्या  पूर्ण वर्ग असू शकते,त्या समोरील संख्या दोन क्रमवार संख्येचा गुणाकार असावी. त्या क्रमवार पैकी लहान  संख्येच्या एकक स्थानी 5 लिहून वर्गमूळ मिळवा.   

उदा
» 1225 चा वर्गमुळ काढतांना
» 12 = 3 × 4
» लहान 3 म्हणून वर्ग 35  4525

» 45 ही दोन क्रमवार संख्याचा गुणाकार नाही म्हणून ती पूर्ण वर्ग नाही

〉 जर संख्या दशांश अपूर्णांक असेल तर दशांश चिन्हा नंतरची  स्थळे  ही संख्या  सम  असणे आवश्यक आहे . वर्गमुळ मध्ये  दशांश चिन्हानंतर ची स्थळे अर्धी होईल.  

उदा : 6.25

» चिन्हानंतर दोन स्थळे म्हणून वर्ग आहे.

» वर्गमूळ वरील पद्धतीने काढून 1 स्थळानंतर चिन्ह द्यावे.

» √6.25  = 2.5

» 1.225 चिन्हानंतर 3 स्थळे म्हणून पूर्ण वर्ग नाही.

» 0.1225 चिन्हानंतर 4 स्थळे म्हणून पूर्ण वर्ग आहे

» वर्गमूळ वरील पद्धतीने काढून 2 स्थळानंतर चिन्ह द्यावा.

» √0.1225 = 0.35